随机波动率摘要

一． BS公式（Delta对冲下

BS部分参考知乎专栏：Black-Scholes 模型学习框架

假设股价满足 $$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$$ 自融资资产组合（此处为期权价格的一个复制）价值变化为 $$d{\Pi }_t=r{\gamma }_t{B}_{t}dt+{\Delta }_{t}d{S}_t$$ 对 $V\left(S_t,t\right)$ （ $t$ 时刻衍生品的价值）做Ito公式，比较项的系数得到Delta 对冲下 的 BS 偏微分方程 （在比较系数过程中会使用到${\gamma }_t{B}_t$替换为$V_t-V_x^{\prime }{S}_t$，即为持有的债券份额为自融资总份额减去持有的标的份额，标的的持有量已经使用为${\Delta }_t$） $$\{\begin{array}{l}{V}_x^{\prime }={\Delta }_t\\ V_t^{\prime }+r{S}_t{V}_x^{\prime }+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }-r{V}_t=0\end{array}$$ 终值条件（看涨期权）为 $$V\left(S_T,T\right)={\left(S_T-K\right)}^{+}$$ 解即为 BS 公式 $$\begin{array}{l}V\left(S_t,t\right)=SN\left(d_1\right)-K{e}^{-r(T-t)}N\left(d_2\right)\\ d_1=\frac{\ln \left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$ 注意到 $d{S}_t$ 的漂移项 $\mu$ 对期权定价没有影响．

BS公式解法（欧式call）

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}=rC-rS\frac{\partial C}{\partial S}$$

有考虑边界条件 $$\begin{array}{rl}C(0,t)& =0\text{ for all }t\\ C(S,t)& \to S\text{ as }S\to \infty \\ C(S,T)& =\max \{S-K,0\}\end{array}$$

注意到这是一个 Cauchy-Euler 方程，能通过下述变量代换将其转化为一个扩散方程 The solution of the PDE gives the value of the option at any earlier time, $\mathbb{E}[\max \{S-K,0\}].$ $$\begin{array}{rl}& \tau =T-t\\ & u=C{e}^{r\tau }\\ & x=\ln \left(\frac{S}{K}\right)+\left(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)\tau \end{array}$$ Black-Scholes PDE 变为一个扩散方程： $$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$ 终值条件 $C(S,T)=\max \{S-K,0\}$ 现在变为了初值条件 $$u(x,0)=u_0(x):=K\left(e^{\max \{x,0\}}-1\right)=K\left(e^x-1\right)H(x)$$ 其中 $H(x)$ 是 Heaviside 阶梯函数，

使用解给定了初值函数 $u(x,0)$ 的扩散方程的标准卷积法，得到 $$u(x,\tau )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}_0(y)\exp \left[-\frac{(x-y{)}^2}{2{\sigma }^2\tau }\right]dy$$ 经过处理，得到： $$u(x,\tau )=K{e}^{x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau }N\left(d_1\right)-KN\left(d_2\right)$$ 其中 N 为正态分布累计密度函数， $$\begin{array}{rl}& d_1=\frac{1}{\sigma \sqrt{\tau }}\left[\left(x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right)+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right]\\ & d_2=\frac{1}{\sigma \sqrt{\tau }}\left[\left(x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right)-\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right]\end{array}$$

BS model给出了期权价格的函数，作为一个波动率的函数．可以通过这个公式在给定期权价格时计算隐含波动率（implied volatility）．但事实是 BS 波动率强烈依赖于欧式期权的到期日和行权价．

波动率微笑是指给定到期日下，隐含波动率与行权价（maturity）的关系．

二． Delta对冲

我们现在考虑用衍生品 $V(S_t,t)$ 和其标的资产 $S_t$ 构建一个“无风险组合”，考虑这样的自融资组合 ${\Pi }_t={\Delta }_t{S}_t-V_t$，即每一单位的空头衍生品，我们用 ${\Delta }_t$ 单位多头的股票对其进行对冲 (Hedging)，由于其自融资的特性，根据定义，我们有 $d{\Pi }_t={\Delta }_{t}d{S}_t-d{V}_t$ ，将股价的 SDE 和上一节中通过伊藤-德布林公式求出的 $d{V}_t$ 带入这个式子，我们可以得到: $$d{\Pi }_t=\left[\left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\mu S_t-V_t^{\prime }-\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }\right]dt+\left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\sigma S_{t}d{W}_t$$ 因为要使资产组合为无风险的， >一个自融资组合 $V_t$ 如果是无风险的，则可以表示为 $d{V}_t=k_t{V}_{t}dt$ ，且 $k_t\equiv r$ ．
$$\{\begin{array}{l}{\Delta }_t-V_x^{\prime }=0\\ \left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\mu S_t-V_t^{\prime }-\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }=r{\Pi }_t\end{array}$$ 1式即 Delta 对冲法则，将 ${\Pi }_t=V_x^{\prime }{S}_t-V_t$ 带入2式我们再次得到 BlackScholes 偏微分方程: $V_t^{\prime }+r{S}_t{V}_x^{\prime }+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }-r{V}_t=0$ ．

三． BS公式（风险中性定价下）

3.1 鞅

定义 在 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的随机过程 $X_t$ ， $t\in [0,T]$ ，称其是关于域流 ${\mathcal{F}}_t$ 的鞅，如果满足:

1. $X_t$ 是 ${\mathcal{F}}_t$ -适应的 (adapted)；
2. $E\left|X_t\right|<\infty ,\forall t\in [0,T]$；
3. 对于 $s\le t$ ，有 $E\left[X_t\mid {\mathcal{F}}_s\right]=X_s$．

3.2 Radon-Nikodym导数

定义 设 $P$ 和 $\tilde{P}$ 为 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 上的等价测度，若 $Z>0$，$E[Z]=1($a.s.$)$，且有 $\forall A\in \mathcal{F}，\tilde{P}(A)={\int }_{A}Z(w)dP(w)$, 则称 $Z$ 是 $\tilde{P}$ 关于 $P$ 的 Radon-Nikodym 导数，记作: $Z=\frac{d\tilde{P}}{dP}$．

${\int }_{\Omega }Xd\tilde{P}={\int }_{\Omega }XZdP$，即 $\tilde{E}[X]=E[ZX]$，其中 $\tilde{E}[\cdot ]$ 表示在测度 $d\tilde{P}$ 下的期望．进一步的，可以用条件期望定义R-N导数过程: $Z_t=E\left[Z\mid {\mathcal{F}}_t\right]，t\in [0,T]$ ．用鞅和RN导数过程的定义，可以简单的证明，R-N导数过程 $Z_t$ 是一个 ${\mathcal{F}}_t$ -鞅．

3.3 资产的现值

用 $V_t$ 表示风险资产的价值过程．首先要知道，在 $\mathrm{BS}$ 模型的假设下，市场是完备 (Complete) 的，即任意资产 $V_t$ 都可以被风险资产 $S_t$ 和无风险资产 $B_t$ 构成的组合所复制，即对任意一个 $V_t$ ，我们可以把它表示 为一个自融资组合: $$\begin{array}{rl}d{V}_t& ={\gamma }_{t}d{B}_t+{\Delta }_{t}d{S}_t\\ & =\left(r{\gamma }_t{B}_t+\mu {\Delta }_t{S}_t\right)dt+\sigma {\Delta }_t{S}_{t}d{W}_t\\ & =\left[r{V}_t+(\mu -r){\Delta }_t{S}_t\right]dt+\sigma {\Delta }_t{S}_{t}d{W}_t\end{array}$$ 可以看到该组合的收益率部分由组合的时间价值 $r{V}_{t}dt$ 与风险资产的超额收益 $(\mu -r){\Delta }_t{S}_{t}dt$ 构成．我们考虑该资产的折现价值过程 $V_t/B_t:$ $$\begin{array}{rl}d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)& =\frac{1}{B_t}d{V}_t-\frac{V_t}{B_t^2}d{B}_t\\ & =(\mu -r){\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}dt+\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{W}_t\\ & =\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}\left(\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t\right)\end{array}$$

3.4 鞅表示

定理(鞅表示) 设 $\left\{W_t，{\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}，t\in [0,T]\right\}$ 是 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的布朗运动，而 $\left\{M_t，t\in [0,T]\right\}$ 为 ${\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}$ -鞅, 且满足 $M_t\in {\mathcal{L}}^2(\Omega )，t\in [0,T]$ ，则存在一个 ${\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}-$ 适应的过程 $\left\{{\Gamma }_t,t\in [0,T]\right\}\in \mathcal{V}[0,T]$ ，使得 $M_t-M_0={\int }_0^t{\Gamma }_{u}d{W}_u$ ．

可以看到，如果 $M_t$ 是鞅，那么 $M_t$ 可以被表示为一个伊藤积分的形式，即没有 $dt$ 项而仅仅只有 $d{W}_t$ 项．再看我们的折现价值过程 $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}\left(\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t\right)$ ，如果想让它只有 $d{W}_t$ 项从而变成一个鞅，我们貌似只需要做变换: $d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$ ，这样折现价值过程就可以被表示为: $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{\tilde{W}}_t$ 但是，鞅表示定理有个非常非常重要的前提，就是你需要保证 ${\int }_0^t{\Gamma }_{u}d{W}_u$ 这玩意儿是个伊藤积分，即 $W_t$ 需要是一个布朗运动． $W_t$ 我们知道是布朗运动，但是经过这样变换过后的 ${\tilde{W}}_t$ 还是布朗运动么，或者说我们需要如何选择新的测度, 来保证经过变换之后的 ${\tilde{W}}_t$ 仍然是个布朗运动?

3.5 Girsanov定理

定理(Grisanov) 设 $\left\{W_t，{\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}，t\in [0,T]\right\}$ 是 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的布朗运动 $\left\{{\theta }_t,t\in [0,T]\right\}$ 为一个相适应的过程, 定义指数鞅过程， $Z_t=\exp \left(X_t-\frac{1}{2}[X,X{]}_t\right)$ 其中 $X_t$ 是初值 $X_0=0$ 的相适应的过程，$[\cdot ,\cdot ]$ 表示二次变差．则可以定义新的概率测度 ${\frac{d\tilde{P}}{dP}|}_{{\mathcal{F}}_t}=Z_t$ ．如果在概率测度 $P$ 下 $W_t$ 是一个布朗运动，那么: ${\tilde{W}}_t=W_t-[W,X{]}_t$ 在新的概率测度 $\tilde{P}$ 下也是一个布朗运动．

这样一来, 我们就找到了新的测度和两个测度之下布朗运动之间的关系．我们看新定义的这个布朗运动：$d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$，它的实质是把资产的风险溢价项给消除了．风险溢价是什么？是对承担单位风险的补偿，在新的测度下风险溢价是没有补偿的，所以说在这个世界里，风险是中性的，因此我们把这样定义的新测度 $\tilde{P}$ 称为风险中性测度，并且用 $Q$ 来表示．

3.6 风险定价公式

现在我们知道了变换公式 $d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$，那么在风险中性测度 $Q$ 下，风险资产 $S_t$ 所满足的 SDE 也需要进行相应的变化: $$\begin{array}{rl}d{S}_t& =\mu S_{t}dt+\sigma S_t\left(d{W}_t^Q-\frac{\mu -r}{\sigma }dt\right)\\ & =r{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^Q\end{array}$$ 由此可见，在风险中性世界里，风险资产 (例如股票) 的收益率完全等于无风险收益率．

此时任意资产的折现价值过程可以被表示为: $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{W}_t^Q$ ．我们知道 $\frac{V_t}{B_t}$ 在 $Q$ 下是一个鞅，那么由鞅的性贡我们可以知道: $\frac{V_t}{B_t}=E^Q\left[\frac{V_T}{B_T}\mid {\mathcal{F}}_t\right]$ ． 常利率假设下有： $V_t=e^{-r(T-t)}{E}^Q\left[V_T\mid {\mathcal{F}}_t\right]$ ．

假设我们需要对一个欧式看涨期权进行定价，我们知道该期权在到期日 $T$ 的价值为 ${\left(S_T-K\right)}^{+}$，则有： $$\begin{array}{rl}{V}_t& =e^{-r(T-t)}{E}^Q\left[\left(S_T-K\right)\cdot 1_{\left\{S_T\ge K\right\}}\mid {\mathcal{F}}_t\right]\\ & =S_{t}Q\left\{x\ge -d_2-\sigma \sqrt{T-t}\right\}-K{e}^{-r(T-t)}Q\left\{x\ge -d_2\right\}\\ & =S_{t}N\left(d_1\right)-K{e}^{-r(T-t)}N\left(d_2\right)\end{array}$$ 其中: $$\begin{array}{l}{d}_1=\frac{\ln \left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$ 与PDE方法一致．

我们来总结一下 Risk-neutral Pricing 的几个步骤：

1. 找到资产的折现价值过程；
2. 作测度变换令这个折现价值在新的测度下为鞅；
3. 用 Girsanov 定理找到新的变换；
4. 利用鞅性质得到风险中性定价公式。

四． SDE WITH ANN

定价模型很重要的一点是能快速地根据现有或者历史价格校准模型．

四． 局部波动率

4.1 Dupire 的工作1994

局部波动率基于如下： $$\frac{d{S}_t}{S_t}={\mu }_{t}dt+\sigma \left(S_t,t;S_0\right)d{W}_t$$ 其中， $\sigma \left(S_t,t;S_0\right)$ 是 $S_t$ 和 $t$ 的确定性函数， $S_0$ 是固定的参数．在风险中性测度时， ${\mu }_t=r_t-q_t$ 下． 一旦 $\sigma \left(S_t,t;S_0\right)$ 给定，那么模型也就定了．

Dupire（1994）证明了当给定了关于 $K$（行权价） 和 $T$（到期日） 的期权价格函数 $C\left(S_0,0,K,T\right)$ 时，局部波动率 $\sigma \left(S_t,t;S_0\right)$ 是唯一确定的．

令 $\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)$ 是如下定义的 $S_t$ 的转移密度函数（transitional density function）： >转移密度函数：$\mathbb{P}(a<y^{\prime }<b$ at $t^{\prime }\mid y$ at $t)={\int }_a^{b}p\left(y,t;y^{\prime },t^{\prime }\right)d{y}^{\prime }$ ，指在 $t$ 时刻 $y$ 条件下在 $t^{\prime }$ 时刻时 $y^{\prime }$ 的分布 $$\begin{array}{rl}\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)& =E_t^Q\left[\varphi \left(S_T,T;Y,T\right)\right]\\ & =E_t^Q\left[\delta \left(S_T-Y\right)\right]\end{array}$$ 其中 $Q$ 代表风险中性测度．众所周知 $\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)$ 满足倒向的 Fokker-Planck 方程： $$\{\begin{array}{c}\left(\frac{\partial }{\partial t}+{\mathcal{L}}_{t,S}\right)\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)=0\\ \varphi \left(S_T,T;Y,T\right)=\delta \left(S_T-Y\right)\end{array}$$ 其中 $${\mathcal{L}}_{t,S}=\frac{1}{2}{\sigma }_t^2{S}^2\frac{{\partial }^2}{\partial S^2}+{\mu }_{t}S\frac{\partial }{\partial S}$$ 一维情形，Fokker-Planck 方程有两个参数，一是拓扑参数 $D_1(x,t)$，另一是扩散 $D_2(x,t)$ $$\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}\left[D_1(x,t)f(x,t)\right]+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left[D_2(x,t)f(x,t)\right].$$

又可证它也满足前向的 Fokker-Planck 方程 $$\left(\frac{\partial }{\partial T}-{\mathcal{L}}_{T,Y}^{\ast }\right)\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)=0,\forall T>t$$ 其中 $${\mathcal{L}}_{T,Y}^{\ast }\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial Y^2}\left({\sigma }_T^2{Y}^2\varphi \right)-\frac{\partial }{\partial Y}\left({\mu }_{T}Y\varphi \right)$$ 且 $$\varphi \left(S_t,t;Y,T\right)=\delta (Y-S)$$ 下面可推导 Dupire 方程，看涨期权的价格满足 $$C\left(S_0,K,T\right)=e^{-rT}{\int }_K^{\infty }\varphi \left(S_0,0;S_T,T\right)\left(S_T-K\right)d{S}_T\text{\hspace{1em}(4.1)}$$ 其中 $\varphi \left(S_0,0;S_T,T\right)$ 是 $S_T$ 的风险中性测度．对（4.1）关于 $K$ 做一次和二次微分，有 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial C}{\partial K}& =-e^{-rT}{\int }_K^{\infty }\varphi \left(S_0,0;S_T,T\right)d{S}_T\\ \frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}& =e^{-rT}\varphi \left(S_0,0;K,T\right)\end{array}$$

已知 $\varphi$ 满足前向 Fokker-Planck 方程 $$\frac{\partial \varphi }{\partial T}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial S_T^2}\left({\sigma }_T^2{S}_T^2\varphi \right)-\frac{\partial }{\partial S_T}\left({\mu }_T{S}_T\varphi \right)$$ （4.1）对 $T$ 微分，有 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial C\left(S_0,K,T\right)}{\partial T}=& e^{-rT}{\int }_K^{\infty }d{S}_T\left\{\frac{\partial \varphi \left(S_0,0;S_T,T\right)}{\partial T}\right\}\left(S_T-K\right)-rC\\ =& e^{-rT}{\int }_K^{\infty }d{S}_T\left\{\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial S_T^2}\left({\sigma }_T^2{S}_T^2\varphi \right)-\frac{\partial }{\partial S_T}\left({\mu }_T{S}_T\varphi \right)\right\}\left(S_T-K\right)-rC\\ =& {e^{-rT}\left\{\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial S_T}\left({\sigma }_T^2{S}_T^2\varphi \right)-\frac{\partial }{\partial S_T}\left({\mu }_T{S}_T\varphi \right)\right\}\left(S_T-K\right)|}_{S_T=K}^{+\infty }\\ & -e^{-rT}{\int }_K^{\infty }d{S}_T\left\{\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial S_T}\left({\sigma }_T^2{S}_T^2\varphi \right)-\left({\mu }_T{S}_T\varphi \right)\right\}-rC\\ =& -{e^{-rT}\frac{1}{2}\left({\sigma }_T^2{S}_T^2\varphi \right)|}_{S_T=K}^{+\infty }+e^{-rT}{\int }_K^{\infty }d{S}_T\left({\mu }_T{S}_T\varphi \right)-rC\\ =& e^{-rT}\frac{1}{2}{\sigma }_T^2{K}^2\varphi \left(S_0,0;K,T\right)+{\mu }_T{e}^{-rT}{\int }_K^{\infty }d{S}_T{S}_T\varphi -rC\\ =& \frac{1}{2}{\sigma }^2{K}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}+e^{-rT}{\mu }_T{\int }_K^{\infty }d{S}_T\left(S_T-K+K\right)\varphi -rC\\ =& \frac{1}{2}{\sigma }^2{K}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}+{\mu }_T\left\{C+e^{-rT}K{\int }_K^{\infty }d{S}_T\varphi \right\}-rC\\ =& \frac{1}{2}{\sigma }^2{K}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}+{\mu }_T\left\{C-K\frac{\partial C}{\partial K}\right\}-rC\end{array}\text{\hspace{1em}(0.3)}$$ 这里我们假设 ${\mu }_T$ 与 $S_T$ 无关，故我们得到了 Dupire 方程： $$\frac{\partial C}{\partial T}=\frac{1}{2}{\sigma }_T^2{K}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}+{\mu }_T\left\{C-K\frac{\partial C}{\partial K}\right\}-rC\text{\hspace{1em}(0.4)}$$ Dupire 方程最大的优点是把局部波动率函数用期权价格和他们的微分表示出来了 $${\sigma }^2\left(K,T,S_0\right)=\frac{\frac{\partial C}{\partial T}-{\mu }_T\left\{C-K\frac{\partial C}{\partial K}\right\}+rC}{\frac{1}{2}{K}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}}$$ 以上结果扩展到了时间依赖的利率，我们只要将 $r$ 替换为 $r_T$ 即可．

局限性

1. 可用的观测值是很少的
2. 数值微分不可靠，二阶的更甚

确定方程的传统做法是二元样条插值，再对模型进行校准（calibration）．

局部波动率作为瞬时方差的条件期望

考虑如下形式的一般的随机波动率模型 $$\{\begin{array}{l}d{S}_t=S_t\left({\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t\right)\\ d{\sigma }_t=\alpha \left(S_t,{\sigma }_t,t\right)dt+\beta \left(S_t,{\sigma }_t,t\right)d{Z}_t\end{array}$$ 其中 $$d{W}_{t}d{Z}_t={\rho }_{t}dt$$ 远期价格 $$F_t^T=S_t{e}^{{\int }_0^t\left(r_s-q_{\ast }\right)ds}$$ 资产价格过程变为 $$d{F}_t^T=F_t^T{\sigma }_{t}d{W}_t$$ 考虑到 $F_T^T=S_T$ ， 欧式看涨期权的 $T$ -forward 价格为 $$C\left(F_0^T,K,T\right)=E\left[{\left(F_T^T-K\right)}^{+}\right]$$ 上式两端对 $K$ 求微分 $$\begin{array}{l}\frac{\partial C}{\partial K}=E\left[H\left(F_T^T-K\right)\right]\\ \frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}=E\left[\delta \left(F_T^T-K\right)\right]\end{array}$$ >其中 $H$ 是 Heaviside函数， $H(t)=\{\begin{array}{ll}0，& t<0，\\ 1,& t\ge 0．\end{array}$ $\delta$ 是Dirac函数， $\delta (x)=0，(x\ne 0)$ ， ${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$ ．

对最终的支付应用 Ito 公式并令 $t\to T$ 有 $$d{\left(F_T^T-K\right)}^{+}=H\left(F_T^T-K\right)d{F}_T^T+\frac{1}{2}{\sigma }_T^2{\left(F_T^T\right)}^2\delta \left(F_T^T-K\right)dT$$ 两侧取条件期望 $F_0^T$，有 $$\begin{array}{rl}dC& =dE\left[{\left(F_T^T-K\right)}^{+}\right]\\ & =\frac{1}{2}E\left[{\sigma }_T^2{\left(F_T^T\right)}^2\delta \left(F_T^T-K\right)\right]dT\end{array}$$ 上式用到了 $F_t^T$ 鞅的性质．接下来 $$\begin{array}{rl}E\left[{\sigma }_T^2\left(F_T^T\right)\delta \left(F_T^T-K\right)\right]& =E\left[{\sigma }_T^2\left(F_T^T\right)\mid F_T^T=K\right]E\left[\delta \left(F_T^T-K\right)\right]\\ & =K^{2}E\left[{\sigma }_T^2\mid F_T^T=K\right]\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}\end{array}$$ 第二个等式是条件期望公式的一个推广： $$E[X\mid A]=\frac{E\left[X{1}_A\right]}{E\left[1_A\right]}$$ 或者 $$E\left[X{1}_A\right]=E[X\mid A]E\left[1_A\right]]$$ 因为 $$dC=\frac{\partial C}{\partial T}dT$$ 故有 $$\frac{\partial C}{\partial T}=\frac{1}{2}{K}^{2}E\left[{\sigma }_T^2\mid F_T^T=K\right]\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}$$ 进行比较，可知对应的局部波动率模型为 $$\begin{array}{rl}{\sigma }_{loc}^2\left(K,T,S_0\right)& =E\left[{\sigma }_T^2\mid F_T^T=K\right]\\ & =E\left[{\sigma }_T^2\mid F_0^T{e}^{{\int }_0^T-\frac{1}{2}{\sigma }_t^{2}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t}=K\right]\end{array}$$ 也就是说，局部方差是以最终股票价格 $S_T=F_T^T$ 等于行权价 $K$ 为条件的瞬时方差的风险中性期望．

五． 随机局部波动率模型

5.1 Jex的随机局部波动率模型1999

$$\begin{array}{rl}\frac{dS}{S}& =\left(r_d-r_f\right)dt+\sqrt{X(S,t)Y}d{Z}_1\\ dY& =\alpha \left(Y_{\ast }-Y\right)dt+\xi \sqrt{Y}d{Z}_2\\ X(K,T)& =\frac{{\sigma }_D^2(K,T)}{\mathrm{E}\left[Y^2(T)\mid S(T)=K\right]}\end{array}$$ 其中 $r_d$ 和 $r_f$ 应该是无风险利率减股息收益，$Y$ 是随机波动率部分，$Y_{\ast }$ 是波动率的均值回复的平衡点． >Heston随机波动率模型：$dS(t)=\mu Sdt+\sqrt{v(t)}Sd{z}_1(t)$，$d\sqrt{v(t)}=-\beta \sqrt{v(t)}dt+\delta d{z}_2(t)$．或者（$dv(t)=\left[{\delta }^2-2\beta v(t)\right]dt+2\delta \sqrt{v(t)}d{z}_2(t)$）

注意到如果没有 $\sqrt{X(S,t)}$ 这一项，模型即为Heston模型，而当 $\xi$ 为 $0$ 时模型即为Dupire．

5.2 GAN基于LOCAL_STOCHASTIC_VOLATILITY

This means parameterizing the model pool in a way which is accessible for machine learning techniques and interpreting the inverse problem as a training task of a generative network, whose quality is assessed by anadversary.We pursue this approach in the presentarticle and use as generative models so-called neural stochastic differential equations (SDE),which just means to parameterize the drift and volatility of an Itˆo-SDE by neural networks.

文中指的neural SDE即通过神经网络来对Ito-SDE的漂移项和波动率进行参数化．
这里考虑的某资产的折现后价格过程（discounted price process） $(S_t{)}_{t\ge 0}$ ： $$d{S}_t=S_{t}L(t,S_t){\alpha }_{t}d{W}_t$$ 其中 $({\alpha }_t{)}_{t\ge 0}$ 是某个 $\mathbb{R}$ 中取值的随机过程，$L(t,s)$ 称为杠杆函数（Leverage function）取决于 $t$ 和资产当前价格．
$L$ 的选取非常重要，需要很好地校准市场上观测到的隐含波动率．故 $L$ 需要满足如下条件： $$L^2(t,s)=\frac{{\sigma }_{\text{Dup }}^2(t,s)}{\mathbb{E}\left[{\alpha }_t^2\mid S_t=s\right]},\text{\hspace{1em}(1.1)}$$ 其中 ${\sigma }_{\text{Dup }}$ 指 Dupire 的local volatility function．注意到（1.1）是 $L$ 的隐式方程，因为 $\mathbb{E}\left[{\alpha }_t^2\mid S_t=s\right]$ 中需要 $(S_t,{\alpha }_t)$ ．故此时 $(S_t{)}_{t\ge 0}$ 满足的SDE也成为了一个McKean-Vlasov SDE．

本文采用了 an alternative，fully data-driven 方法，规避了其他计算 Dupire 局部波动率的方法中必须的对波动率曲面插值的做法，即此方法只需离散数据．

令 $T_0=0$ , $T_1<T_2<...<T_n$ 为不同期权的到期日．使用神经网络族 $F^i:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 将杠杆函数参数化，参数为 ${\theta }_i\in {\Theta }_i$ ，i.e. $$L(s,t,\theta )=1+F^i(s,{\theta }_i)，t\in [T_{i-1},T_i)，i\in 1,...,n．$$

于是有了neural SDE的生成模型组（generative model class），即使用带参数 $\theta$ 的神经网络来参数化漂移项 $\mu (\cdot ,\cdot ,\theta )$ 和波动率项 $\sigma (\cdot ,\cdot ,\theta )$ ，i.e. $$d{X}_t(\theta )=\mu \left(X_t(\theta ),t,\theta \right)dt+\sigma \left(X_t(\theta ),t,\theta \right)d{W}_t,X_0(\theta )=x$$
本文中，没有漂移项，波动率项如下所示： $$\sigma \left(S_t(\theta ),t,\theta \right)=S_t(\theta )\left(1+\sum _{i=1}^n{F}^i\left(S_t(\theta ),{\theta }_i\right)1_{\left[T_{i-1},T_i\right)}(t)\right){\alpha }_t.$$

依次对每个到期日，参数优化采用如下的校准法则： $$\underset{\theta }{\inf }\underset{\gamma }{\sup }\sum _{j=1}^J{w}_j^{\gamma }{\ell }^{\gamma }\left({\pi }_j^{\mathrm{mod}}(\theta )-{\pi }_j^{\mathrm{mkt}}\right)$$ 其中 $J$ 是期权的数目， ${\pi }_j^{\mathrm{mod}}$ 和 ${\pi }_j^{\mathrm{mkt}}$ 是模型与市场分别的价格．

对固定的 $\gamma$ ， ${\ell }^{\gamma }$ 是非线性非负凸函数满足 ${\ell }^{\gamma }(0)=0$ 且 ${\ell }^{\gamma }(x)>0$ 对 $x\ne 0$ ，衡量模型和市场价的距离．$w_j^{\gamma }$ 某种权重，参数 $\gamma$ 扮演了对抗（adversarial）的部分，注意到 ${\ell }^{\gamma }$ 和 $w_j^{\gamma }$ 都受 $\gamma$ 控制．