深入希腊值 - 布武不舞

三．希腊值的含义

序:各种希腊值特性

delta

call 的价值变化：标的相对于行权价的变化 call delta变化

put 的价值变化：标的相对于行权价的变化 put delta

delta 随标的的变化 delta_value

call_delta 随 volatility 的变化 call_dalta_as_volatility

put_delta 随 volatility 的变化 put_delta_as_volatility

call_delta 随到期时间变化 call_delta_as_time

put_delta 随到期时间变化 put_delta_as_time

call_delta 随着时间推移或者波动率下降的变化 call_delta_as_time_or_volatility

Vanna

Vanna：作为 Delta 对波动率的偏导，或者 Vega 对标的价格的偏导． vanna

theta

theta：期权价格随着标的价格变化，此处取了绝对值(call 与 put 一样，都是负的！跟恒正 GAMMA 比较) theta

gamma

恒正的 GAMMA： gamma

gamma_time_volatility

$V_{t} = S_{t} N (d_{1}) - K e^{- r (T - t)} N (d_{2})$ 其中 $d_{1} = \frac{l n ( \frac{S _{t}}{K} ) + ( r + \frac{1}{2} σ ^{2} ) ( T - t )}{σ T - t} d_{2} = d_{1} - σ T - t$

3.0 随机分析几大基础定理

3.0.1 Radon–Nikodym

3.0.1.1 Radon-Nikodym 定理

测度空间 $(X, Σ)$ 上定义有两个 $σ$ -有限测度： $μ$ 和 $ν$ ．定理表明：如果 $ν ≪ μ$ （i.e. $ν$ 关于 $μ$ 绝对连续），则存在一个 $Σ$ -可测函数 $f : X \to [0, \infty)$ s.t. $\forall A \subseteq X$ 可测集， $ν (A) = \int_{A} fd μ$

$σ$ -有限： $(X, A)$ 是一个测度空间， $μ$ 是上面一测度． $μ$ 称为其上一个 $σ$ -有限测度若 $X$ 可以写成至多可列个有限测度集合的无交并．

绝对连续：实线上 Borel 子集上的测度 $μ$ 称为关于 Lebesgue 测度 $λ$ 绝对连续若对任何 $λ (A) = 0$ 的可测集 $A$ 有 $μ (A) = 0$ ．记为 $μ ≪ λ$ ．

等价测度： $μ$ 和 $ν$ 称为等价测度若 $μ ≪ ν$ 且 $ν ≪ μ$ ．

3.0.1.2 Radon-Nikodym 导数

上述函数 $f$ 在几乎处处意义下唯一，通常写为 $\frac{d ν}{d μ}$ ，通常称为 Radon-Nikodym 导数．

3.0.2 Girsanov 定理

二次变差（quadratic variation）： $[X]_{t} = lim_{∥ P ∥ \to 0} \sum_{k = 1}^{n} (X_{t_{k}} - X_{t_{k - 1}})^{2}$ ， $[X, Y]_{t} = lim_{∥ P ∥ \to 0} \sum_{k = 1}^{n} (X_{t_{k}} - X_{t_{k - 1}}) (Y_{t_{k}} - Y_{t_{k - 1}})$ ，计算公式为 $d X_{t} d Y_{t} = d [X, Y]_{t}$ ．

${W_{t}}$ 是 Wiener 概率空间 $(Ω, F, P)$ 上的 Wiener 过程．令 ${X_{t}}$ 是适应于 Wiener 过程生成的自然域流 ${F_{t}^{W}}$ 的可测过程， $X_{0} = 0$ ．

定义 $X$ 关于 $W$ 的 Doléans-Dade exponential $E (X)_{t}$ 如下： $E (X)_{t} = exp (X_{t} - \frac{1}{2} [X]_{t})$ 其中 $[X]_{t}$ 是 $X_{t}$ 的二次变差．若 $E (X)_{t}$ 是严格正的鞅，那么可以定义 $(Ω, F)$ 上的概率测度 $Q$ s.t. 有 Radon-Nikodym 导数： $\frac{d Q}{d P}_{F_{t}} = E (X)_{t}$ 则对每个 $t$ ， $Q$ 限制在未扩充的 $σ$ -域 $F_{t}^{W}$ 上和 $P$ 限制在 $F_{t}^{W}$ 是等价的．进一步，若 $Y$ 是 $P$ 下的局部鞅，那么过程 $\tilde{Y}_{t} = Y_{t} - [Y, X]_{t}$ 是 $Q$ 下的在 $(Ω, F, {F_{t}^{W}}, Q)$ 上的局部鞅．

推论：若 $X$ 是连续过程， $W$ 是 $P$ 下的布朗运动，那么： $\tilde{W}_{t} = W_{t} - [W, X]_{t}$ 是 $Q$ 下的布朗运动．

3.1 BS公式含义

Moneyness 指的是标的现价相对于行权价格的关系．下面考虑的是远期 F，

$ln (F / K) = ln (S / K) + r T$ 进行标准化后为： $m = \frac{ln ( F / K )}{σ τ}$

下面我们记 $d_{+} = d_{1}, d_{-} = d_{2}$ ，故

$d_{\pm} = \frac{ln ( F / K ) \pm ( σ ^{2} /2 ) τ}{σ τ}$ 标准的 moneyness 为如下均值： $m = \frac{ln ( F / K )}{σ τ} = \frac{1}{2} (d_{-} + d_{+})$ 大小关系为： $d_{-} < m < d_{+}$ 每级相差 $σ τ /2$ ，这几项都在单位标准差内，所以把这几项转换成百分数，用标准正态的累计密度函数来评估．对这几个量的解释很精细(subtle)，与风险中性测度有关．简单来说，有如下解释：

$N (d_{-})$ 是二项 call option 的未来价值，或者风险中性下期权会在价内行权的可能性，with numéraire cash（风险中性资产）
$N (m)$ 是标准化的货币价值的百分比（概率？）
$N (d_{+})$ 是 Delta，或者风险中性下期权会在价内行权的可能性，with numéraire asset（注意与上面的不同之处，cash 与 asset，债券与标的资产）

These have the same ordering, asis monotonic (since it is a CDF): 因为 $N$ 是单调的（是一个CDF），他们有大小关系 $N (d_{-}) < N (m) < N (d_{+}) = Δ ．$

3.2 计价单位的变换

知乎：BS模型之计价单位变换

wiki: Numéraire

wiki 概述：

在证券交易的金融市场中，计价单位的变换可以用来对资产定价．例如，若 $M (t) =$ exp $(\int_{0}^{t} r (s) d s)$ 是 $0$ 时刻投资在货币市场的 $1$ 元在 $t$ 时刻的价格，那么以货币市场定价的所有资产（记作 $S (t)$ ）在风险测度（记作 $Q$ ）下是鞅： $\frac{S ( t )}{M ( t )} = E_{Q} [\frac{S ( T )}{M ( T )} ∣ F (t)] \forall t \leq T$ 现在假定 $N (t) > 0$ 是另一个严格正的交易资产（因此在货币市场的定价下是一个鞅），那么我们能根据 Radon-Nikodym 导数定义一个新的概率测度： $\frac{d Q ^{N}}{d Q} = \frac{M ( 0 )}{M ( T )} \frac{N ( T )}{N ( 0 )}$ 根据贝叶斯定理可以证明 $S (t)$ 关于新的计价单位 $N (t)$ 在 $Q^{N}$ 下是一个鞅： $= = = = E_{Q^{N}} [\frac{S ( T )}{N ( T )} ∣ F (t)] E_{Q} [\frac{M ( 0 )}{M ( T )} \frac{N ( T )}{N ( 0 )} \frac{S ( T )}{N ( T )} ∣ F (t)] / E_{Q} [\frac{M ( 0 )}{M ( T )} \frac{N ( T )}{N ( 0 )} ∣ F (t)] \frac{M ( t )}{N ( t )} E_{Q} [\frac{S ( T )}{M ( T )} ∣ F (t)] \frac{M ( t )}{N ( t )} \frac{S ( t )}{M ( t )} \frac{S ( t )}{N ( t )}$

知乎总结：

3.2.1 概述

在探讨计价单位变换之前，我们先来粗略的看一下这个公式长什么样子: $\frac{V _{0}}{N _{0}} = E^{Q^{N}} [\frac{V _{T}}{N _{T}}]$ ，这里 $N_{t}$ 是一个计价单位 (Numéraire)．乍一看，这个式子和风险中性定价公式 $\frac{V _{0}}{B _{0}} = E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}}]$ 长得一模一样，只不过是将债券 $B$ 替换为了另一个东西 $N$ ，然后从 $Q$ 测度下的期望变成了在 $Q^{N}$ 下的期望．

直观上来理解，就是这个意思，风险中性定价公式其实是以债券为计价单位，从而得出的资产的期望价值，那在某些情况下，我们也可以用其他资产作为计价单位，来对某些资产进行定价，或者是进行计算上的简化，这就是计价单位变换的动机所在．

其实可以看到，计价单位变换的本质，就是从一个 $Q$ 测度转化为另一个 $Q^{N}$ 测度，所以这个公式的核心，是找到连接两个测度的 Radon-Nikodym 导数 $Z$ ．

3.2.2 计价单位变换公式的推导

3.2.2.1 RN 导数的存在

这里我们想到的第一个问题是，对于任意一个给出的计价单位 $N_{t}$ ，存在这样的 RN 导数来定义测度 $Q^{N}$ 么？

这里我们需要注意的是，计价单位变换公式中，要求 $N_{t}$ 是任意一个价格严格为正的资产，由先前的知识可以知道，这样的资产以债券计价时 (或者说以货币账户计价时) 是一个鞅，即 $\frac{N _{t}}{B _{t}}$ 在测度 $Q$ 下是一个鞅，这样良好的性质，保证了 RN 导数 $Z$ 的存在性． >定理( $Z$ 的存在性). 设测度 $P$ 与 $\tilde{P}$ 为 $(Ω, F)$ 上的等价摡率测度，则存在 $Z > 0$ ，满足 $E [Z] = 1$ ，且 $\tilde{P} (A) = \int_{A} Z (ω) d P (ω)$ ．

根据这个定理，我们可以找到那个存在的 $Z : Z = \frac{d Q ^{N}}{d Q}_{F_{0}} := \frac{N _{T}}{B _{T}} \cdot \frac{B _{0}}{N _{0}}$ ．可以验证，这样定义的 $Z$ 严格为正，且有 $E^{Q} [Z] = 1$ ，满足上述定理： $E^{Q} [Z] = \frac{B _{0}}{N _{0}} E^{Q} [\frac{N _{T}}{B _{T}}] = \frac{B _{0}}{N _{0}} \cdot \frac{N _{0}}{B _{0}} = 1$ 定义 RN 导数过程 $Z_{t} = E^{Q} [Z ∣ F_{t}]$ ，可以证明 $Z_{t}$ 在原本的测度 $Q$ 下是一个 $F_{t}$ -鞅： $E^{Q} [Z_{t} ∣ F_{s}] = E^{Q} [E^{Q} [Z ∣ F_{t}] ∣ F_{s}] = E^{Q} [Z ∣ F_{s}] = Z_{s}$ (鞅性质)．

3.2.2.2 RN 导数的性质

这里设 $Q^{N} (A) = \int_{A} Z (ω) d Q (ω) ， Z$ 是由上一节中的定义 $Z = \frac{d Q ^{N}}{d Q}_{F_{0}} := \frac{N _{T}}{B _{T}} \cdot \frac{B _{0}}{N _{0}}$ 给出．

则在两个测度下期望的运算之间，可以用 RN 导数过程来联系．

设 $X$ 为 $F_{t}$ -可测的随机变量．给定 $0 \leq t \leq T$ ，则无条件期望之间的关系: $E^{Q^{N}} [X] = E^{Q} [X Z_{t}]$ 给出简单的证明: $E^{Q^{N}} [X] = E^{Q} [XZ] = E^{Q} [E^{Q} [Y Z ∣ F_{t}]] = E^{Q} [X E^{Q} [Z ∣ F_{t}]] = E^{Q} [X Z_{t}]$ 更进一步的，给定 $0 \leq s \leq t \leq T$ ，则条件期望之间的关系: $E^{Q^{N}} [X ∣ F_{s}] = \frac{E ^{Q} [ X Z _{t} ∣ F _{s} ]}{Z _{s}}$ 这里的其实是贝叶斯定理 (Abstract Bayes' Theorem) 的结论．

定理 (Abstract Bayes). 设 $X$ 为 $(Ω, F, P)$ 上的随机变量, $\tilde{P}$ 是 $(Ω, F)$ 上由 $RN$ 导数 $Z = \frac{d P ~}{d P}_{F}$ 定义的测度．设 $G$ 为 $σ$ -代数且 $G \subset F$ ，则有: $E^{\tilde{P}} [X ∣ G] = \frac{E ^{P} [ XZ ∣ G ]}{E ^{P} [ Z ∣ G ]}$ ．

3.2.2.3 计价单位变换公式

首先我们有风险中性定价公式 $\frac{V _{0}}{B _{0}} = E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}}]$ ，接着根据定义的 RN 导数 $Z = \frac{d Q ^{N}}{d Q}_{F_{0}} := \frac{N _{T}}{B _{T}} \cdot \frac{B _{0}}{N _{0}}$ ，可以得到: $V_{0} = B_{0} E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}}] = B_{0} E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}} \frac{1}{Z} \frac{d Q ^{N}}{d Q}] = B_{0} E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}} \frac{B _{T}}{N _{T}} \frac{N _{0}}{B _{0}} \frac{d Q ^{N}}{d Q}] = N_{0} \int_{Ω} \frac{V _{T}}{N _{T}} \frac{d Q ^{N}}{d Q} d Q = N_{0} \int_{Ω} \frac{V _{T}}{N _{T}} d Q^{N} = N_{0} E^{Q^{N}} [\frac{V _{T}}{N _{T}}]$

对于 conditional on $F_{t}$ 的公式，根据 Abstract Bayes' Theorem 有: $V_{t} = B_{t} E^{Q} [\frac{V _{T}}{B _{T}} ∣ F_{t}] = B_{t} E^{Q^{N}} [\frac{V _{T}}{B _{T}} \frac{Z _{t}}{Z _{T}} ∣ F_{t}] = B_{t} E^{Q^{N}} [\frac{V _{T}}{B _{T}} \frac{N _{t}}{N _{T}} \frac{B _{T}}{B _{t}} ∣ F_{t}] = N_{t} E^{Q^{N}} [\frac{V _{T}}{N _{T}} ∣ F_{t}]$

3.2.2.4 新测度下的股价

根据这个计价单位变换公式，在实际运用时我们首先需要找到合适的计价单位 $N_{t}$ ，然后将风险中性定价公式中的 $B_{t}$ 替换为 $N_{t}$ ，接着求一个在测度 $Q^{N}$ 下的期望 $E^{Q^{N}} [\cdot]$ 就可以了．

但要求出 $E^{Q^{N}} [\cdot]$ ，我们还需要知道某个随机变量在 $Q^{N}$ 下的分布，或者说需要知道它新的 dynamics 是什么，此时还需要 Girsanov 定理来帮助我们找到 $Q^{N}$ 下的布朗运动 $W_{t}^{Q^{N}}$ 和 $Q$ 下的布朗运动之间的关系 $W_{t}^{Q}$ ．

定理 (Grisanov). 设 ${W_{t}, F_{t}^{W}, t \in [0, T]}$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的布朗运动, ${θ_{t}, t \in [0, T]}$ 为一个相适应的过程，定义指数鞅过程： $Z_{t} = exp (X_{t} - \frac{1}{2} [X, X]_{t})$ ，其中 $X_{t}$ 是初值 $X_{0} = 0$ 的相适应的过程， $[, \cdot,]$ 表示二次变差．则可以定义新的概率测度 $\frac{d P ~}{d P}_{F_{t}} = Z_{t}$ ．如果在概率测度 $P$ 下 $W_{t}$ 是一个布朗运动，那么: $\tilde{W}_{t} = W_{t} - [W, X]_{t}$ 在新的概率测度 $\tilde{P}$ 下也是一个布朗运动．

我们这里以股价 $S_{t}$ 为计价单位来运用 Girsanov 定理，找到 $W_{t}^{Q^{S}}$ 与 $W_{t}^{Q}$ 之间的关系．根据 $Z$ 的定义，有: $Z = \frac{d Q ^{S}}{d Q} = \frac{S _{T}}{B _{T}} \cdot \frac{B _{0}}{S _{0}} = exp {(r - \frac{σ ^{2}}{2}) T + σ W_{T}^{Q} - r T} = exp {σ W_{T}^{Q} - \frac{σ ^{2}}{2} [W_{T}^{Q}, W_{T}^{Q}]}$ 根据 Girsanov 定理，可以得到 $d W_{t}^{Q^{S}} = d W_{t}^{Q} - σ d t$ ，于是在 $Q^{S}$ 下，对数价格 $ln S_{t}$ 的 SDE 为: $d ln S_{t} = (μ - \frac{σ ^{2}}{2}) d t + σ d W_{t}^{Q} = (μ - \frac{σ ^{2}}{2}) d t + σ (d W_{t}^{Q^{S}} + σ d t) = (μ + \frac{σ ^{2}}{2}) d t + σ d W_{t}^{Q^{S}}$

3.2.3 一些栗子

根据风险中性公式， 0 时刻欧式看涨期权的价值应为: $c (0, S) = e^{- r T} E^{Q} [(S_{T} - K)^{+}] = e^{- r T} E^{Q} [S_{T} \cdot 1_{{S_{T} \geq K}}] - K e^{- r T} E^{Q} [1_{{S_{T} \geq K}}]$ 此时，如果我们不想计算一个比较复杂的期望，则可以用 $S_{t}$ 作为计价单位处理第一项，得到: $c (0, S) = S E^{Q^{S}} [1_{{S_{T} \geq K}}] - K e^{- r T} E^{Q} [1_{{S_{T} \geq K}}] = S \cdot Q^{S} {S_{T} \geq K} - K e^{- r T} \cdot Q {S_{T} \geq K}$ 可以看到，我们其实是将原式转化为求事件 ${S_{T} \geq K}$ 分别在 $Q^{S}$ 和 $Q$ 下的概率．

由上一节可以知道，在 $Q^{S}$ 下有 $d ln S_{t} = (μ + \frac{σ ^{2}}{2}) d t + σ d W_{t}^{Q^{S}}$ ，则： $Q^{S} {S_{T} \geq K} Q {S_{T} \geq K} = Q^{S} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{W _{T}^{Q^{S}}}{T} \geq \frac{ln \frac{K}{S} - ( μ + \frac{σ ^{2}}{2} )}{σ T} ⎭ ⎬ ⎫ = Q^{S} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{W _{T}^{Q^{S}}}{T} \leq \frac{ln \frac{S}{K} + ( μ + \frac{σ ^{2}}{2} )}{σ T} ⎭ ⎬ ⎫ = N (d_{1}) = Q ⎩ ⎨ ⎧ \frac{W _{T}^{Q}}{T} \geq \frac{ln \frac{K}{S} - ( μ - \frac{σ ^{2}}{2} )}{σ T} ⎭ ⎬ ⎫ = Q ⎩ ⎨ ⎧ \frac{W _{T}^{Q}}{T} \leq \frac{ln \frac{S}{K} + ( μ - \frac{σ ^{2}}{2} )}{σ T} ⎭ ⎬ ⎫ = N (d_{2})$

此时可以很快的得到欧式看矤期权的定价公式: $c (0, S) = SN (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$

上述推导也说明了， $N (d_{2})$ 表示在 $Q$ 下事件 ${S_{T} \geq K}$ 的概率，即代表了在风险中性世界中，该看涨期权在到期日被执行的概率，而 $N (d_{1})$ 表示在 $Q^{S}$ 下事件 ${S_{T} \geq K}$ 的概率，即在以股价为计价单位的世界中，该看涨期权在到期日被执行的概率．