布武不舞

一．基础概念

1.1 BS公式（Delta对冲下）

BS部分参考知乎专栏：Black-Scholes 模型学习框架

假设股价满足 $$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$$ 自融资资产组合（此处为期权价格的一个复制）价值变化为 $$d{\Pi }_t=r{\gamma }_t{B}_{t}dt+{\Delta }_{t}d{S}_t$$ 对 $V\left(S_t,t\right)$ （ $t$ 时刻衍生品的价值）做Ito公式，比较项的系数得到Delta 对冲下 的 BS 偏微分方程 （在比较系数过程中会使用到${\gamma }_t{B}_t$替换为$V_t-V_x^{\prime }{S}_t$，即为持有的债券份额为自融资总份额减去持有的标的份额，标的的持有量已经使用为${\Delta }_t$） $$\{\begin{array}{l}{V}_x^{\prime }={\Delta }_t\\ V_t^{\prime }+r{S}_t{V}_x^{\prime }+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }-r{V}_t=0\end{array}$$ 终值条件（看涨期权）为 $$V\left(S_T,T\right)={\left(S_T-K\right)}^{+}$$ 解即为 BS 公式 $$\begin{array}{l}V\left(S_t,t\right)=SN\left(d_1\right)-K{e}^{-r(T-t)}N\left(d_2\right)\\ d_1=\frac{\ln \left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$ 注意到 $d{S}_t$ 的漂移项 $\mu$ 对期权定价没有影响．

BS公式解法（欧式call）

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}=rC-rS\frac{\partial C}{\partial S}$$

有考虑边界条件 $$\begin{array}{rl}C(0,t)& =0\text{ for all }t\\ C(S,t)& \to S\text{ as }S\to \infty \\ C(S,T)& =\max \{S-K,0\}\end{array}$$

注意到这是一个 Cauchy-Euler 方程，能通过下述变量代换将其转化为一个扩散方程 The solution of the PDE gives the value of the option at any earlier time, $\mathbb{E}[\max \{S-K,0\}].$ $$\begin{array}{rl}& \tau =T-t\\ & u=C{e}^{r\tau }\\ & x=\ln \left(\frac{S}{K}\right)+\left(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)\tau \end{array}$$ Black-Scholes PDE 变为一个扩散方程： $$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$ 终值条件 $C(S,T)=\max \{S-K,0\}$ 现在变为了初值条件 $$u(x,0)=u_0(x):=K\left(e^{\max \{x,0\}}-1\right)=K\left(e^x-1\right)H(x)$$ 其中 $H(x)$ 是 Heaviside 阶梯函数，

使用解给定了初值函数 $u(x,0)$ 的扩散方程的标准卷积法，得到 $$u(x,\tau )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}_0(y)\exp \left[-\frac{(x-y{)}^2}{2{\sigma }^2\tau }\right]dy$$ 经过处理，得到： $$u(x,\tau )=K{e}^{x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau }N\left(d_1\right)-KN\left(d_2\right)$$ 其中 N 为正态分布累计密度函数， $$\begin{array}{rl}& d_1=\frac{1}{\sigma \sqrt{\tau }}\left[\left(x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right)+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right]\\ & d_2=\frac{1}{\sigma \sqrt{\tau }}\left[\left(x+\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right)-\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \right]\end{array}$$

BS model给出了期权价格的函数，作为一个波动率的函数．可以通过这个公式在给定期权价格时计算隐含波动率（implied volatility）．但事实是 BS 波动率强烈依赖于欧式期权的到期日和行权价．

波动率微笑是指给定到期日下，隐含波动率与行权价（maturity）的关系．

1.2 Delta对冲

我们现在考虑用衍生品 $V(S_t,t)$ 和其标的资产 $S_t$ 构建一个“无风险组合”，考虑这样的自融资组合 ${\Pi }_t={\Delta }_t{S}_t-V_t$，即每一单位的空头衍生品，我们用 ${\Delta }_t$ 单位多头的股票对其进行对冲 (Hedging)，由于其自融资的特性，根据定义，我们有 $d{\Pi }_t={\Delta }_{t}d{S}_t-d{V}_t$ ，将股价的 SDE 和上一节中通过伊藤-德布林公式求出的 $d{V}_t$ 带入这个式子，我们可以得到: $$d{\Pi }_t=\left[\left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\mu S_t-V_t^{\prime }-\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }\right]dt+\left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\sigma S_{t}d{W}_t$$ 因为要使资产组合为无风险的， >一个自融资组合 $V_t$ 如果是无风险的，则可以表示为 $d{V}_t=k_t{V}_{t}dt$ ，且 $k_t\equiv r$ ． $$\{\begin{array}{l}{\Delta }_t-V_x^{\prime }=0\\ \left({\Delta }_t-V_x^{\prime }\right)\mu S_t-V_t^{\prime }-\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }=r{\Pi }_t\end{array}$$ 1式即 Delta 对冲法则，将 ${\Pi }_t=V_x^{\prime }{S}_t-V_t$ 带入2式我们再次得到 BlackScholes 偏微分方程: $V_t^{\prime }+r{S}_t{V}_x^{\prime }+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}_t^2{V}_{xx}^{\prime \prime }-r{V}_t=0$ ．

1.3 BS公式（风险中性定价下）

1.3.1 鞅

定义 在 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的随机过程 $X_t$ ， $t\in [0,T]$ ，称其是关于域流 ${\mathcal{F}}_t$ 的鞅，如果满足:

1. $X_t$ 是 ${\mathcal{F}}_t$ -适应的 (adapted)；
2. $E\left|X_t\right|<\infty ,\forall t\in [0,T]$；
3. 对于 $s\le t$ ，有 $E\left[X_t\mid {\mathcal{F}}_s\right]=X_s$．

1.3.2 Radon-Nikodym导数

定义 设 $P$ 和 $\tilde{P}$ 为 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 上的等价测度，若 $Z>0$，$E[Z]=1($a.s.$)$，且有 $\forall A\in \mathcal{F}，\tilde{P}(A)={\int }_{A}Z(w)dP(w)$, 则称 $Z$ 是 $\tilde{P}$ 关于 $P$ 的 Radon-Nikodym 导数，记作: $Z=\frac{d\tilde{P}}{dP}$．

${\int }_{\Omega }Xd\tilde{P}={\int }_{\Omega }XZdP$，即 $\tilde{E}[X]=E[ZX]$，其中 $\tilde{E}[\cdot ]$ 表示在测度 $d\tilde{P}$ 下的期望．进一步的，可以用条件期望定义R-N导数过程: $Z_t=E\left[Z\mid {\mathcal{F}}_t\right]，t\in [0,T]$ ．用鞅和RN导数过程的定义，可以简单的证明，R-N导数过程 $Z_t$ 是一个 ${\mathcal{F}}_t$ -鞅．

1.3.3 资产的现值

用 $V_t$ 表示风险资产的价值过程．首先要知道，在 $\mathrm{BS}$ 模型的假设下，市场是完备 (Complete) 的，即任意资产 $V_t$ 都可以被风险资产 $S_t$ 和无风险资产 $B_t$ 构成的组合所复制，即对任意一个 $V_t$ ，我们可以把它表示 为一个自融资组合: $$\begin{array}{rl}d{V}_t& ={\gamma }_{t}d{B}_t+{\Delta }_{t}d{S}_t\\ & =\left(r{\gamma }_t{B}_t+\mu {\Delta }_t{S}_t\right)dt+\sigma {\Delta }_t{S}_{t}d{W}_t\\ & =\left[r{V}_t+(\mu -r){\Delta }_t{S}_t\right]dt+\sigma {\Delta }_t{S}_{t}d{W}_t\end{array}$$ 可以看到该组合的收益率部分由组合的时间价值 $r{V}_{t}dt$ 与风险资产的超额收益 $(\mu -r){\Delta }_t{S}_{t}dt$ 构成．我们考虑该资产的折现价值过程 $V_t/B_t:$ $$\begin{array}{rl}d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)& =\frac{1}{B_t}d{V}_t-\frac{V_t}{B_t^2}d{B}_t\\ & =(\mu -r){\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}dt+\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{W}_t\\ & =\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}\left(\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t\right)\end{array}$$

1.3.4 鞅表示

定理(鞅表示) 设 $\left\{W_t，{\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}，t\in [0,T]\right\}$ 是 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的布朗运动，而 $\left\{M_t，t\in [0,T]\right\}$ 为 ${\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}$ -鞅, 且满足 $M_t\in {\mathcal{L}}^2(\Omega )，t\in [0,T]$ ，则存在一个 ${\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}-$ 适应的过程 $\left\{{\Gamma }_t,t\in [0,T]\right\}\in \mathcal{V}[0,T]$ ，使得 $M_t-M_0={\int }_0^t{\Gamma }_{u}d{W}_u$ ．

可以看到，如果 $M_t$ 是鞅，那么 $M_t$ 可以被表示为一个伊藤积分的形式，即没有 $dt$ 项而仅仅只有 $d{W}_t$ 项．再看我们的折现价值过程 $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}\left(\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t\right)$ ，如果想让它只有 $d{W}_t$ 项从而变成一个鞅，我们貌似只需要做变换: $d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$ ，这样折现价值过程就可以被表示为: $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{\tilde{W}}_t$

但是，鞅表示定理有个非常非常重要的前提，就是你需要保证 ${\int }_0^t{\Gamma }_{u}d{W}_u$ 这玩意儿是个伊藤积分，即 $W_t$ 需要是一个布朗运动． $W_t$ 我们知道是布朗运动，但是经过这样变换过后的 ${\tilde{W}}_t$ 还是布朗运动么，或者说我们需要如何选择新的测度, 来保证经过变换之后的 ${\tilde{W}}_t$ 仍然是个布朗运动?

1.3.5 Girsanov定理

定理(Grisanov) 设 $\left\{W_t，{\mathcal{F}}_t^{\mathcal{W}}，t\in [0,T]\right\}$ 是 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的布朗运动．$\left\{{\theta }_t,t\in [0,T]\right\}$ 为一个相适应的过程, 定义指数鞅过程，$Z_t=\exp \left(X_t-\frac{1}{2}[X,X{]}_t\right)$．其中 $X_t$ 是初值 $X_0=0$ 的相适应的过程，$[\cdot ,\cdot ]$ 表示二次变差．则可以定义新的概率测度 ${\frac{d\tilde{P}}{dP}|}_{{\mathcal{F}}_t}=Z_t$ ．如果在概率测度 $P$ 下 $W_t$ 是一个布朗运动，那么: ${\tilde{W}}_t=W_t-[W,X{]}_t$ 在新的概率测度 $\tilde{P}$ 下也是一个布朗运动．

这样一来, 我们就找到了新的测度和两个测度之下布朗运动之间的关系．我们看新定义的这个布朗运动：$d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$，它的实质是把资产的风险溢价项给消除了．风险溢价是什么？是对承担单位风险的补偿，在新的测度下风险溢价是没有补偿的，所以说在这个世界里，风险是中性的，因此我们把这样定义的新测度 $\tilde{P}$ 称为风险中性测度，并且用 $Q$ 来表示．

1.3.6 风险定价公式

现在我们知道了变换公式 $d{\tilde{W}}_t=\frac{\mu -r}{\sigma }dt+d{W}_t$，那么在风险中性测度 $Q$ 下，风险资产 $S_t$ 所满足的 SDE 也需要进行相应的变化: $$\begin{array}{rl}d{S}_t& =\mu S_{t}dt+\sigma S_t\left(d{W}_t^Q-\frac{\mu -r}{\sigma }dt\right)\\ & =r{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^Q\end{array}$$ 由此可见，在风险中性世界里，风险资产 (例如股票) 的收益率完全等于无风险收益率．

此时任意资产的折现价值过程可以被表示为: $d\left(\frac{V_t}{B_t}\right)=\sigma {\Delta }_t\frac{S_t}{B_t}d{W}_t^Q$．我们知道 $\frac{V_t}{B_t}$ 在 $Q$ 下是一个鞅，那么由鞅的性贡我们可以知道: $\frac{V_t}{B_t}=E^Q\left[\frac{V_T}{B_T}\mid {\mathcal{F}}_t\right]$．常利率假设下有：$V_t=e^{-r(T-t)}{E}^Q\left[V_T\mid {\mathcal{F}}_t\right]$ ．

假设我们需要对一个欧式看涨期权进行定价，我们知道该期权在到期日 $T$ 的价值为 ${\left(S_T-K\right)}^{+}$，则有： $$\begin{array}{rl}{V}_t& =e^{-r(T-t)}{E}^Q\left[\left(S_T-K\right)\cdot 1_{\left\{S_T\ge K\right\}}\mid {\mathcal{F}}_t\right]\\ & =S_{t}Q\left\{x\ge -d_2-\sigma \sqrt{T-t}\right\}-K{e}^{-r(T-t)}Q\left\{x\ge -d_2\right\}\\ & =S_{t}N\left(d_1\right)-K{e}^{-r(T-t)}N\left(d_2\right)\end{array}$$ 其中: $$\begin{array}{l}{d}_1=\frac{\ln \left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$ 与PDE方法一致．

我们来总结一下 Risk-neutral Pricing 的几个步骤：

1. 找到资产的折现价值过程；
2. 作测度变换令这个折现价值在新的测度下为鞅；
3. 用 Girsanov 定理找到新的变换；
4. 利用鞅性质得到风险中性定价公式。